Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，2），顶点C的坐标为（1，-2），与y轴的交点为点B．
（1）求点B的坐标；
（2）判断∠ACB与∠ABO的大小关系，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使∠ADB=∠ACB，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式，设抛物线解析式为y=a（x-1）²-2，把点A（-1，2）代入抛物线的解析式即可解决问题．
（2）只要证明△ABO∽△ACB，即可解决问题．
（3）存在．△ACB的外接圆与抛物线的对称轴的交点即为点D，求出△ABC的外接圆的圆心坐标，利用对称即可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²-2，
把点A（-1，2）代入抛物线的解析式，得2=a（-1-1）²-2，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-1，
当x=0时，y=-1，
∴点B坐标（0，-1）．

（2）∵A（-1，2），C（1，-2），
∴点A，点C关于原点对称，
直线AC经过原点，
∵AO=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AO}$，∵∠A=∠A，
∴△ABO∽△ACB，
∴∠ACB=∠ABO．

（2）存在．△ACB的外接圆与抛物线的对称轴的交点即为点D．
∵O为AC中点，过点O作OM⊥AC交直线x=1于点M．对称轴与x轴的交点为N，
由△OMN∽△CON，得到$\frac{ON}{MN}$=$\frac{CN}{ON}$，
∴MN=$\frac{O{N}^{2}}{CN}$=$\frac{1}{2}$，
∴点M坐标为（1，$\frac{1}{2}$），
∴AC的垂直平分线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，同理BC的垂直平分线的解析式为y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，-2）关于直线y=2的对称点D坐标为（1，6）．

点评 本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、相似三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，第三个问题的突破点是利用圆周角相等解决问题，属于中考压轴题．