Question

8．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=$\frac{10}{3}$或10s时，△POQ是等腰三角形；当t=$\frac{20}{3}$s时，△POQ是直角三角形．

Answer 1

分析 根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上；根据△POQ是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ⊥AB，或PQ⊥OC，据此进行计算即可．

解答 解：如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形

∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=1t
∴当PO=QO时，10-2t=t
解得t=$\frac{10}{3}$；
如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形

∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=1t
∴当PO=QO时，2t-10=t
解得t=10；

如图，当PQ⊥AB时，△POQ是直角三角形，且QO=2OP

∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=1t，
∴当QO=2OP时，t=2×（2t-10）
解得t=$\frac{20}{3}$；
如图，当PQ⊥OC时，△POQ是直角三角形，且2QO=OP

∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=1t，
∴当2QO=OP时，2t=2t-10
方程无解．
故答案为：$\frac{10}{3}$或10；$\frac{20}{3}$

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．