Question

3．如图1，已知长方形ABCD，AB=CD，BC=AD，P为长方形ABCD上的动点，动点P从A出发，沿着A-B-C-D运动到D点停止，速度为1cm/s，设点P用的时间为x秒，△APD的面积为ycm²，y和x的关系如图2所示，
（1）求当x=3和x=9时，点P走过的路程是多少？
（2）求当x=2，对应y的值；并写出0≤x≤3时，y与x之间的关系式；
（3）当y=3时，求x的值；
（4）当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APD的周长最小？若存在，求出此时∠APD的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）从图2中看，0≤x≤3时面积越来越大，从3到9面积不变；结合图1可知，当点P在线段AB上运动时，△APD的面积会越来越大，点P在BC上时，△APD的面积不变，由此可知：AB=3，AB+BC=9，直接写出当x=3和x=9时，点P走过的路程；
（2）当x=2，即AP=2，高仍然为6，此时△APD的面积即为y；在由图2利用待定系数法求出当0≤x≤3时，y与x之间的关系式，或由图1，AP=t，利用面积公式求也可以；
（3）由图2知，当y=3时有两种情况，画图进行讨论即可；
（4）作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D与BC交于点P，根据两边之和大于第三边可知A′D最小，即△APD的周长最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

解答 解：（1）由题意得：AB=3，AB+BC=9，
∴当x=3时，点P所走的路程为：AB=3，
当x=9时，点P所走的路程为：AB+BC=9，
（2）如图3，当x=3时，点P与B重合，
y=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
∴E（3，9），
如图4，当x=2时，AP=2，则y=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×2×6=6，
如图2，设直线OE的解析式为：y=kx，
把E（3，9）代入得：9=3k，
k=3，
y=3x，
∴当0≤x≤3时，y与x之间的关系式：y=3x；
（3）分两种情况：
①当P在AB上时，如图2，当y=3时，3=3x，x=1，
②当P在CD上时，如图5，则AB+BC+CP=t，
∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=$\frac{1}{2}$PD•AD=$\frac{1}{2}$×6×（12-t）=3（12-t），
当y=3时，3=3（12-t），
t=11，
综上所述，当y=3时，x的值是1秒或11秒；
（4）存在，如图6，延长AB至A′，使AB=A′B，连接A′D，交BC于P，连接AP，
此时△APD的周长最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂线，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、轴对称的性质，此题动点运动路线与三角形面积和函数图象相结合，理解函数图象的实际意义是本题的关键，根据图象的变化特征确定其点p的位置，从而得出结论．