Question

13．如图，大半圆O与小半圆O₁相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切与F，且AB∥CD，AB=4cm，则阴影部分的面积为2πcm²．

Answer 1

分析 作OH⊥AB于H，连接O₁F，OB，如图，利用垂径定理得AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，再根据切线的性质得O₁F⊥AB，接着证明四边形OHFO₁为矩形得到O₁F=OH，利用圆的面积公式得到阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$•π•（OB²-OH²），然后利用勾股定理得到OB²-OH²=BH²=4，于是得到阴影部分的面积=2π．

解答 解：作OH⊥AB于H，连接O₁F，OB，如图，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵大半圆的弦AB与小半圆相切与F，
∴O₁F⊥AB，
∵AB∥CD，
∴四边形OHFO₁为矩形，
∴O₁F=OH，
∵阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$•π•OB²-$\frac{1}{2}$•π•O₁F²
=$\frac{1}{2}$•π•（OB²-OH²）
而OB²-OH²=BH²=4，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$•π•4=2π（cm²）．
故答案为2πcm²．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．