Question

16．已知长度分别为3，6，2x-1的三条正整数长线段可以组成一个三角形．
（1）用记号（3，6，2x-1）表示一个符合条件的三角形，试求出所有符合条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出符合上述条件且周长小于15的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出所作三角形的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）利用三角形三边的关系得到3＜2x-1＜9，然后解不等式组，再确定不等式组的整数解即可；
（2）先作线段AB=3，再以A、B为圆心，6和5为半径画弧交于点C，则△ABC满足条件；作BH⊥AC于H，如图，则利用勾股定理可计算出BH，从而得到三角形面积，然后根据三角形的内切圆半径与三角形的周长积的一半等于三角形面积求三角形的内切圆半径．

解答 解：（1）由题得：3＜2x-1＜9，
而2x-1为整数，
∴2x-1的值为4、5、6、7、8，
∴符合条件的三角形为（3，6，5）、（3，6，4），（3，6，7），（3，6，6），（3，6，8）；

（2）由（1）得：作边长为3，6，5的三角形，
如图，△ABC为所作，

作BH⊥AC于H，如图，设三角形的内切圆半径为r，AH=x，则CH=6-x，
在Rt△ABH，BH²=AB²-AH²=3²-x²，
在Rt△CBH，BH²=CB²-CH²=5²-（6-x）²，
∴3²-x²=5²-（6-x）²，解得x=$\frac{5}{3}$，
∴BH=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$r（AB+BC+AC）=$\frac{1}{2}$•BH•AC，
∴r=$\frac{4\sqrt{14}}{14}$=$\frac{2\sqrt{14}}{7}$，
此三角形内切圆半径为$\frac{2\sqrt{14}}{7}$．
当三角形三边为3，6，4时，同法可得内切圆半径为$\frac{\sqrt{455}}{26}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．计算三角形的内切圆半径的关键是运用三角形的内切圆半径与三角形的周长积的一半等于三角形面积．