Question

2．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题．

解答 （1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由（1）知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．

点评 本题考查正方形的判定、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答．