Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；
（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；
（3）分别从∠EDF=90°与∠DEF=90°两种情况讨论即可求解．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
∵CD=4tcm，AE=2tcm，
又∵在直角△CDF中，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴DF=AE；

（2）解：∵DF∥AB，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即当t=10时，?AEFD是菱形；

（3）解：当t=$\frac{15}{2}$时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；
当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．
理由如下：
当∠EDF=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4tcm，
∴DF=AE=2tcm，
∴AD=2AE=4tcm，
∴4t+4t=60，
∴t=$\frac{15}{2}$时，∠EDF=90°．
当∠DEF=90°时，DE⊥EF，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴DE⊥AD，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∵∠A=60°，
∴∠DEA=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，
AD=AC-CD=60-4t（cm），AE=DF=$\frac{1}{2}$CD=2tcm，
∴60-4t=t，
解得t=12．
综上所述，当t=$\frac{15}{2}$时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．