Question

12．如图，已知等边△ABC边长为8 cm，D为BC中点，E为直线AD上一动点，将EC绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接DF，则线段DF最小值为2．

Answer 1

分析 连接BF．只要证明△ACE≌△BCF，推出∠CBF=∠CAE=30°，推出当DF⊥BF时，DF的值最小，最小值为BD•sin30°．

解答 解：如图，连接BF．

∵△ABC是等边三角形，BD=DC，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠DAB=∠DAC，
∵EC=EF，∠CEF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠ECF=∠ACB=60°，EC=CF，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACE=∠BCF}\\{EC=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴当DF⊥BF时，DF的值最小，最小值为BD•sin30°=4×$\frac{1}{2}$=2，

故答案为2．

点评 本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和判定、锐角三角函数、垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．