Question

10．二次函数y=ax²-2ax+a-2的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B两点，O为坐标原点，若OC²=OA•OB，则a=1或1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A（m，0），B（n，0），利用二次函数的性质和判别式的意义得到a≠0，△=4a²-4a（a-2）＞0，则a＞0，利用根与系数的关系得到mn=$\frac{a-2}{a}$，所以OA•OB=|mn|=|$\frac{a-2}{a}$|=$\frac{|a-2|}{a}$，再确定C（0，a-2），所以（a-2）²=$\frac{|a-2|}{a}$，然后讨论：当0＜a＜2时，（a-2）²=-$\frac{a-2}{a}$，当a＞2时，（a-2）²=$\frac{a-2}{a}$，再分别解方程确定满足条件的a的值．

解答 解：设A（m，0），B（n，0），
根据题意得a≠0，
△=4a²-4a（a-2）＞0，解得a＞0，
∵mn=$\frac{a-2}{a}$，
∴OA•OB=|mn|=|$\frac{a-2}{a}$|=$\frac{|a-2|}{a}$，
当x=0时，y=a-2，则C（0，a-2），
∵OC²=OA•OB，
∴（a-2）²=$\frac{|a-2|}{a}$，
当0＜a＜2时，（a-2）²=-$\frac{a-2}{a}$，整理得a²-2a+1=0，解得a₁=a₂=1，
当a＞2时，（a-2）²=$\frac{a-2}{a}$，整理得a²-2a-1=0，解得a₁=1+$\sqrt{2}$，a₂=1-$\sqrt{2}$（舍去），
综上所述，a的值为1或1+$\sqrt{2}$．
故答案为1或1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．