Question

15．如图（1），已知抛物线y=ax²+bx+5中与x轴交于A、B（点A在点B的左侧）两点．与y轴交于点C，已知点A的横坐标为-5，且点D（-2，3）在此抛物线的对称轴上．
（1）求a、b的值；
（2）若在直线AC上方的抛物线上有一点M，当点M到x轴的距离与M到直线AC的距离之比为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点P，使得|PD-PM|值最大，如果存在，求此时点P的坐标及|PD-PM|的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依据题意求得点A和点C的坐标，然后设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+k，将点A和点C的坐标代入可求得a，k的值，然后代入抛物线的解析式，经过整理可得到b，c的值；
（2）如图1所示：过点M作ME⊥AC，垂足为E，作MF⊥AO，垂足为D，MD交AC与点F．先证明△ADF和△EMF为等腰直角三角形，设ME=3K，MD=4$\sqrt{2}$K，可得到点M的坐标为（-5+$\sqrt{2}$k，4$\sqrt{2}$k），将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得k的值，从而可得到M的坐标；
（3）当点P、D、M在一条直线上时，|DP-MP|有最大值，最大值=MD，最后依据两点间的距离公式求解即可，设MD的解析式为y=kx+b，将点M和点D的坐标代入可求得直线MD的解析式，然后将x=0代入可求得点P的纵坐标．

解答 解：（1）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，
∴点C的坐标为（0，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+k．
将点A和点C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+k=5}\\{9a+k=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，k=9．
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）²+9，即y=-x²-4x+5．
∴a=-1，b=-4．

（2）如图1所示：过点M作ME⊥AC，垂足为E，作MF⊥AO，垂足为D，MD交AC与点F．

∵A（-5，0），C（0，5），
∴OA=CO．
∴∠CAO=45°．
设ME=3K，MD=4$\sqrt{2}$K．
∵∠FAD=45°，∠MDA=90°，
∴∠MFE=45°．
又∵∠MEF=90°，
∴ME=FE=3K．
∴MF=3$\sqrt{2}$K．
∴AD=DF=$\sqrt{2}$K．
∴M（-5+$\sqrt{2}$k，4$\sqrt{2}$k）．
将点M的坐标代入抛物线的解析式得：-（-5+$\sqrt{2}$k）²-4（-5+$\sqrt{2}$k）+5=4$\sqrt{2}$k，解得：k=$\sqrt{2}$．
∴M（-3，8）．

（3）如图2所示：

当点P、D、M不在同一条直线上时，由三角形的两边之差小于第三边可知：|DP-MP|＜MD．
当点P、D、M在一条直线上时，|DP-MP|=MD，
∴|DP-MP|的最大值等于MD的长．
依据两点间的距离公式可知：MD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（8-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$．
∴|DP-MP|的最大值等于$\sqrt{26}$．
设MD的解析式为y=kx+b，将点M和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=8}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得k=-5，b=7．
∴直线MD的解析式为y=-5x+7．
当x=0时，y=7．
∴点P的坐标为（0，7）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质和判定，三角形的三边关系，用含k的式子表示出点M的坐标是解答问题（2）的关键，依据三角形的三边关系得到当点P、D、M不在同一条直线上时|DP-MP|有最大值是解题的关键．