如图.抛物线与x轴交于点B.与y轴正半轴交于点A.且tan∠ABC=2．(1)求该抛物线的解析式,(2)?DEFG的一边DG在线段BC上.另两个顶点E.F分别在线段AC和线段AB上.且∠EFG=∠ABC.若点D的坐标为(m.0).?DEFG的面积为S.求S与m的函数关系式.并求出S的最大值,(3)点N在线段BC上运动.连接AN.将△ANC沿直线AC翻折得到△AN′C.AN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，抛物线与x轴交于点B（-2，0）、C（4，0），与y轴正半轴交于点A，且tan∠ABC=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）?DEFG的一边DG在线段BC上，另两个顶点E、F分别在线段AC和线段AB上，且∠EFG=∠ABC，若点D的坐标为（m，0），?DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）点N在线段BC上运动，连接AN，将△ANC沿直线AC翻折得到△AN′C，AN′与抛物线的另一个交点为M，若点M恰好将线段AN′分成 1：3两部分，求点N的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据A、B、C的坐标求得直线AB、直线AC的解析式，根据解直角三角形求得E、F的坐标，然后求得EF的长，即可求得平行四边形DEFG的面积的解析式，进而求得最大值．
（3）根据轴对称的性质，求得直线NN′的解析式，然后通过抛物线的解析式和NN′的解析式求得交点M的坐标，然后根据已知条件列出关系式，解这个方程即可求得．

解答：解：（1）∵B（-2，0），
∴OA=2，
∵tan∠ABC=2，
∴OA=4，
∴A（0，4），
∴抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），
∴4=a（0+2）（0-4），解得：a=-

，
∴y=-

（x+2）（x-4），
∴抛物线的解析式为：y=-

x²+x+4；

（2）如图1，过E点作EH⊥BC于H，∵四边形DEFG是平行四边形，∠EFG=∠ABC，
∴∠EDH=∠EFG=∠ABC，
∴tan∠EDH=tan∠ABC=2，
∴

=2，
∴EH=2DH，
∵A（0，4），C（4，0），
∴OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∴tan∠ACO=

=1，
∴EH=DH+CD，
∵EH=2DH，
∴DH=CD，
∵D（m，0），
∴CD=DH=4-m，
∴OH=m-（4-m）=2m-4，
∴EH=2（4-m）=8-2m，
∴E（2m-4，8-2m），
∵直线AB的解析式为y=2x+4，
∴F（2-m，8-2m），EF=（2m-4）-（2-m）=3m-6，
∴S=（3m-6）（8-2m）=-6m²+36m-48，=-6（m-3）²+6，
∴S的最大值是6．

（2）如图2，．设N（n，0），∵A（0，4），C（4，0），
∴N′（4，4-m），
①当M是AN'上左侧的四等分点时，根据平行线分线段成比例定理，得M点的横坐标为1，
∵点M在抛物线上，将x=1代入抛物线的解析式，得y=4.5，
∴M（1，4.5），
∵A（0，4），
∴直线AN'的解析式为y=0.5x+4，
将点N'（4，4-n）代入y=0.5x+4，得n=-2，
∴N（-2，0）；
②．当M是AN'上右侧的四等分点时，同理可求n=2，N（2，0）．
综上所述，点N的坐标是（-2，0）、（2，0）．

点评：本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等；根据平行线分相等定理列出方程是本题的关键．