Question

12．我们把依次连结任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连结各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形．
（2）请证明你的结论．
（3）根据以上结论进一步猜想，对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是矩形；矩形的中点四边形是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据四边形的形状，及三角形中位线的性质可判断出四边形EFGH是平行四边形；
（2）连接AC、利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状；
（3）根据中位线的与对角线平行的性质，因此顺次连接四边中点可以得到一个相邻的边互相垂直的四边形，根据矩形的定义，邻边垂直的四边形为矩形，同理可得矩形的中点四边形形状．

解答 （1）解：中点四边形EFGH的形状是平行四边形．
故答案为：平行四边形；

（2）证明：如图1，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．

（3）解：对角线互相垂直的四边形，它的中点四边形是：矩形；矩形的中点四边形是菱形．
理由：如图2，∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：矩形，菱形．

点评 此题考查了三角形的中位线定理及平行四边形的判定、矩形、菱形的判定等知识，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．