Question

3．如图，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）点A、B的坐标是A（-4，0），B（0，3）；
（2）把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，请画出图形并求直线AB′的解忻式；
（3）在（2）中旋转过程中点B所经过的路径长是$\frac{25}{4}$π．

Answer 1

分析 （1）令x=0得y=3，令y=0得x=-4，由此即可解决问题．
（2）画出图形，求出点B′坐标，利用待定系数法即可求出直线AB′的解析式．
（3）旋转过程中点B所经过的路径是以点A为圆心，AB为半径的弧，利用弧长公式计算即可．

解答 解：（1）令x=0得y=3，令y=0得x=-4，
∴点A（-4，0），点B（0，3）．
故答案为A（-4，0），B（0，3）．

（2）△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，图象如图所示，

∵A（-4，0），B′（-1，-4）设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB′解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$．

（3）∵OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴旋转过程中点B所经过的路径长是$\frac{1}{4}$π•5²=$\frac{25}{4}$π．

点评 本题考查轨迹、旋转变换、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，需要记住弧长公式，属于中考常考题型．