Question

9．如图是抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B，直线y₂=mx+n（m≠0）经过A、B两点，下列结论：
①当x＜1时，有y₁＜y₂；
②a+b+c=m+n；
③b²-4ac=-12a；
④若m-n=-5，则B点坐标为（4，0）
其中正确的是（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 利用图象判定①；利用抛物线和直线都经过顶点A可判定②；利用顶点坐标判定③；利用待定系数法求得直线解析式，进而求得B的坐标，宽判定④．

解答 解：∵由图象可知，当x＜1时，有y₁＜y₂，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），直线y₂=mx+n（m≠0）经过A点，
∴当x=1时，y₁=y₂，
∴a+b+c=m+n，故②正确；
∵抛物线的最大值为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=3，
∴4ac-b²=12a，
∴b²-4ac=-12a，故③正确；
∵抛物线经过A（1，3），
∴代入y₂=mx+n得，m+n=3，
解$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴y₂=-x+4，
令y=0，则x=4，
∴B（4，0），故④正确；
故选D．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．