题目内容
15．在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF，（点E、F为折痕与矩形ABCD边的交点），再将纸片还原．（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
①当点P与点A重合时，∠DEF=90°；当点E与点A重合时，∠DEF=45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=7时菱形DEPF的边长．
（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值．
分析 （1）①当点P与点A重合时，如图1，画出图形可得结论；
当点E与点A重合时，如图2，则EF平分∠DAB；
②证明△DOF≌△POE（ASA）得DF=PE，根据一组对边平行且相等得：四边形DEPF是平行四边形，加上对角线互相垂直可得?DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，根据勾股定理列方程得：62+（7-x）2=x2，求出x的值即可；
（2）如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求CD=PC=8，由勾股定理求AC=10，所以AP=10-8=2．
解答 
解：（1）①当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF=90°，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°，
故答案为：90°，45°；
②当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO=PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO=∠EPO，
∵∠DOF=∠EOP，
∴△DOF≌△POE（ASA），
∴DF=PE，
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴?DEPF为菱形，
当AP=7时，设菱形的边长为x，则AE=7-x，DE=x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴62+（7-x）2=x2，
x=$\frac{85}{14}$，
∴当AP=7时，设菱形的边长为$\frac{85}{14}$；
（2）若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，
如图4，当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，
由折叠得：CD=PC=8，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AP=10-8=2，
则AP的最小值是2．
点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想．
小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．
如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，求∠B′A′C的大小．| A． | 三个内角平分线的交点 | B． | 三边垂直平分线的交点 | ||
| C． | 三条高线的交点 | D． | 三条中线的交点 |
如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB与小圆相切于点P，已知两圆的半径分别为2和1，用阴影部分围成一个圆锥（OA与OB重合），则该圆锥的底面半径是（ ）| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |