Question

18．若关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，则抛物线y=-x²+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值是$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 先根据关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1求出a的取值范围，再得出抛物线y=-x²+2ax+2-a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代入即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（-1）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1+2a+2-a≥0\\-1-2a+2-a≥0\end{array}\right.$，解得-1≤a≤$\frac{1}{3}$．
∵抛物线y=-x²+2ax+2-a的顶点纵坐标=$\frac{-4（2-a）-4{a}^{2}}{-4}$=2-a+a²，
当a=-1时，2-a+a²=2+1+4=7；
当a=$\frac{1}{3}$时，2-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{9}$，
∵7＞$\frac{16}{9}$，
∴顶点到x轴距离的最小值是$\frac{16}{9}$．
故答案为：$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点之间的关系是解答此题的关键．