Question

13．当-1≤x≤1时，函数y=-x²-2mx+2n+1的最小值是-4，最大值是0，求m、n的值．

Answer 1

分析 首先将二次函数配方确定其对称轴，然后根据m的取值分类讨论即可确定m、n的值．

解答 解：y=-x²-2mx+2n+1=-（x+m）²+m²+2n+1，其对称轴为直线x=-m，
①当-m≤-1，即m≥1时，$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m+2n+1=-4}\\{-1+2m+2n+1=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}}\right.$，
②当-1＜-m＜0，即0＜m＜1时，$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}+2n+1=0}\\{-1-2m+2n+1=-4}\end{array}}\right.$，
消去n得，m²+2m-3=0，
解得m=1或m=-3，舍去；
③当 0＜-m＜1，即-1＜m＜0时，$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}+2n+1=0}\\{-1+2m+2n+1=-4}\end{array}}\right.$
解得m=-1或m=3，舍去；
④当-m≥1，即m≤-1时，$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m+2n+1=0}\\{-1+2m+2n+1=-4}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-1}\end{array}}\right.$，
综上所述m=1，n=-1或m=-1，n=-1．

点评 本题考查了二次函数的最值，本题主要考查x取值范围的讨论，比较复杂，有一定难度．