Question

20．如图1，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距离为$\sqrt{2}$；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；
（3）在（2）的情形下，连PQ，则当△MPQ的面积等于四边形MPAQ的面积的一半时，四边形MPAQ的形状为正方形，此时BP=1．

Answer 1

分析 （1）M是BC的中点，三角板沿C→B方向平移的距离为CM，根据勾股定理可求BC，那么CM可求；
（2）方法一、连AM，分别证明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四边形MPAQ的面积S就是△ABC面积的一半；
方法二、先判断出S_{正方形ADME}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，再求出三角形ABC的面积，最后判断出△DMQ≌△EMP即可得出结论；
（3）用四边形MPAQ的面积减去△APQ可得△MPQ的面积，设AQ=PB=x，AP=2-x，据此列出△MPQ的面积为$\frac{1}{2}$列出方程即可求出BP，进而可以判断四边形MPAQ的形状．

解答 （1）解：（1）BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$故三角板沿C→B方向平移的距离为：$\sqrt{2}$；         
故答案为：$\sqrt{2}$；

   （2）答：四边形MPAQ的面积S不变．
解法1：连接AM，
∵AB=AC=2，∠A=90°，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×2×2=2
又由（1）知，点M是BC中点
∴∠CAM=∠BAM=∠B=45°，AM⊥BC，
∴AM=BM，∠BMP+∠PMA=90°
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=1
又∠AMQ+∠PMA=90°
∴∠AMQ=∠BMP
∴△AMQ≌△BMP
∴S_{四边形MPAQ}=S_△ABM=1，
解法2：如图3，作MD⊥AC于D，作ME⊥AB于E，
∵AB=AC=2，∠A=90°
∴∠B=∠C=45°，四边形ADME是矩形，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×2×2=2
又∵点M是BC中点
∴Rt△CMD≌Rt△BME
∴四边形ADME是正方形，易求S_{正方形ADME}=$\frac{1}{2}$S_△ABC=1
∴MD=ME，∠DMQ+∠QME=90°，
又∠EMP+∠QME=90°
∴∠DMQ=∠EMP
∴△DMQ≌△EMP
∴S_{四边形MPAQ}=S_{正方形ADME}=1，

（3）设AQ=PB=x，AP=2-x，
S_△MPQ=S_{四边形MAPQ}-S_△APQ=1-$\frac{1}{2}$AQ•AP=1-$\frac{1}{2}$x（2-x）=$\frac{1}{2}$x²-x+1=$\frac{1}{2}$
解得，x=1．
∴PB=1，
∴AQ=PB=AP=1，
∴点P是AB的中点，
∵M是BC中点，
∴PM∥AQ，
∴∠MPA=90°，
∵∠PAQ=∠PMQ=90°，
∴四边形MPAQ是矩形，
∵AQ=AP，
∴矩形MPAQ是正方形，
故答案为：正方形，1．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、正方形的判定三角形的面积公式，解（2）的关键是找出几个图形的面积关系，解（3）的关键是判断出四边形MPAQ是矩形．