Question

12．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）先证明△ACF≌△ACE，从而得到CF=CE，然后再证明△ACE为等腰三角形，则CE=AC=4$\sqrt{2}$；
（2）当∠AFE=90°，可证明△ADF≌△FCE，则FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，从而可求得a、b的值，同理当∠AEF=90°时，也可求得a、b的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被对角线AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，
∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4$\sqrt{2}$，即：a=b=4$\sqrt{2}$．
（2）当△AEF是直角三角形时，
①如图所示：

∵∠AFE=90°，
∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4．
②当∠AEF=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，
∴a=4，b=8．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．