Question

17．阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y₁=ax+b与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于A（1，3）和B（-3，-1）两点．
观察图象可知：
①当x=-3或1时，y₁=y₂；
②当-3＜x＜0或x＞1时，y₁＞y₂，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集．
有这样一个问题：求不等式x³+4x²-x-4＞0的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x³+4x²-x-4＞0的解集进行了探究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化：
当x=0时，原不等式不成立；
当x＞0时，原不等式可以转化为x²+4x-1＞$\frac{4}{x}$；
当x＜0时，原不等式可以转化为x²+4x-1＜$\frac{4}{x}$；
（2）构造函数，画出图象
设y₃=x²+4x-1，y₄=$\frac{4}{x}$，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．
双曲线y₄=$\frac{4}{x}$如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y₃=x²+4x-1；（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y₃=y₄的所有x的值为±1和-4；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x³+4x²-x-4＞0的解集为x＞1或-4＜x＜-1．

Answer 1

分析 （2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；
（3）根据图象即可直接求解；
（4）根据已知不等式x³+4x²-x-4＞0即当x＞0时，x²+4x-1＞$\frac{4}{x}$，；当x＜0时，x²+4x-1＜$\frac{4}{x}$，根据图象即可直接写出答案．

解答 解：（2）
；
（3）两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4．
则满足y₃=y₄的所有x的值为±1和-4．
故答案是：±1和-4；
（4）不等式x³+4x²-x-4＞0即当x＞0时，x²+4x-1＞$\frac{4}{x}$，此时x的范围是：x＞1；
当x＜0时，x²+4x-1＜$\frac{4}{x}$，则-4＜x＜-1．
故答案是：x＞1或-4＜x＜-1．

点评 本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式x³+4x²-x-4＞0即当x＞0时，x²+4x-1＞$\frac{4}{x}$，；当x＜0时，x²+4x-1＜$\frac{4}{x}$，分成两种情况讨论是本题的关键．