Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC边于点E．若BE=2，∠B=22.5°
（1）求AE的长和∠AEC的度数；
（2）求△ABC的面积（保留根号）．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）直接根据线段垂直平分线的性质可得出AE的长，故可得出∠BAE的度数，由三角形外角的性质即可得出∠AEC的度数；
（2）根据∠C=90°，∠AEC=45°可知△ACE是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=2，
∴AE=BE=2．
∵∠B=22.5°，
∴∠BAE=∠B=22.5°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=22.5°+22.5°=45°；

（2）∵∠C=90°，∠AEC=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=CE，
∴2AC²=AE²，即2AC²=2²，解得AC=

2

，
∴BC=BE+CE=2+

2

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×

2

×（2+

2

）=1+

2

．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．