题目内容

19．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC．以点D为圆心．DA长为半径的⊙D与AB相切于点A，与BC交于点F，E为CF的中点，求证：四边形ABED为矩形．

分析 欲证明四边形ABED为矩形，只要证明∠DAB=∠ABE=∠DEB=90°即可．

解答 证明：∵AB是⊙D的切线，A是切点，
∴DA⊥AB，∠DAB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠ABC=90°，
∵DF=DC，EF=EC，
∴DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠DAB=∠ABE=∠DEB=90°，
∴四边形ABED是矩形．

点评 本题考查切线的性质、矩形的判定、等腰三角形的性质等知识，掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，属于中考常考题型．

练习册系列答案
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9．已知∠α和∠β互为补角，并且∠α比∠β的2倍小30°，求∠α、∠β．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1上一点A关于x轴的对称点为B（2，m），则m的值为（　　）
A．-1B．1C．2D．3
7．阅读材料
通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x1-x2|2+|y1-y2|2，所以A、B两点间的距离为AB=$\sqrt{|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}+|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}}$．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离．
我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：
已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
计算：例如：求点P（-2，1）到直线y=x+1的距离．
解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1，b=1．
所以点P（-2，1）到直线y=x+1的距离了为d=$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|1×（-2）-1+1|}{\sqrt{1+{1}^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知A（-2，1），B（4，3），求线段AB的长度；
（2）点P（1，1）到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
（3）点P（2，-1）到直线y=2x-1的距离；
（4）已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离．
14．如图，在一张透明的纸上画了一个∠BAC，且∠BAC=α．

（1）如图2，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的内部，点A的对称点为点O，求证：∠CDO+∠OEB=2α．
（2）如图3，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的外部，点A的对称点为点O写出∠CDO、∠OEB与α的等式关系（只写出答案，无需证明）．
（3）如图4，在图2的基础上再以FG为折痕叠纸片，使顶点D、E在∠BAC的内部，且点D、E的对称点分别为点P、Q，求∠CFP+∠PMO+∠ONQ+∠QGB的大小．
（4）如图5，是一个侧“M”形HIJKL．已知：∠HIJ+∠JKL=2∠IJK．分别延长HI、LK交于点R，问∠HRL与∠IJK是否相等？如果相等，则请证明；如果不相等，则说明理由（举一反例）．
4．如图，BA⊥FC于A点，过A点作DE∥BC，若∠EAF=125°，则∠B=35°．
11．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已AB=32cm，BC=40cm，求CE的长．
8．如图，在Rt△COD中，∠COD=90°，∠D=30°，斜边CD与以AB为直径，O为圆心的半圆相切于点P，OD与半圆交于点E，连接PA，PE，PA与OC交于点F．
猜想与证明：
（1）当∠BOD=60°时，试判断四边形AOEP的形状，并证明；
探索与发现：
（2）当AB=6时，求图中阴影部分的面积；
（3）若不再添加任何辅助线和字母，请写出图中两组相等的线段．（半径除外）
9．解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+1＞3}\\{\frac{x+3}{5}≤\frac{2x-5}{3}-1}\end{array}\right.$，并把不等式组的解集在数轴上表示．

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