Question

14．如图，在一张透明的纸上画了一个∠BAC，且∠BAC=α．

（1）如图2，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的内部，点A的对称点为点O，求证：∠CDO+∠OEB=2α．
（2）如图3，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的外部，点A的对称点为点O写出∠CDO、∠OEB与α的等式关系（只写出答案，无需证明）．
（3）如图4，在图2的基础上再以FG为折痕叠纸片，使顶点D、E在∠BAC的内部，且点D、E的对称点分别为点P、Q，求∠CFP+∠PMO+∠ONQ+∠QGB的大小．
（4）如图5，是一个侧“M”形HIJKL．已知：∠HIJ+∠JKL=2∠IJK．分别延长HI、LK交于点R，问∠HRL与∠IJK是否相等？如果相等，则请证明；如果不相等，则说明理由（举一反例）．

Answer 1

分析 （1）由平角和对折的性质简单计算∠CDO=180°-2∠ADE即可；
（2）由平角和对折的性质简单计算∠OEB=∠AED-180°即可；
（3）由对折和平角的意义进行简单的计算，
（3）利用几何图形，对折，平角的意义简单的计算．

解答 解：（1）∵如图2，

∵把三角形纸片ABC的∠A沿DE折起，点A的对称点为点O，
∴∠CDO+∠OEB
=（180°-2∠ADE）+（180°-2∠AED）
=2（180°-∠ADE-∠AED）=2α；
（2）∠CDO-∠OEB=2α，
理由如下：如图3，

∠CD0-∠OEB
=（180°-2∠ADE）-（2∠AED-180°）
=2（180°-∠ADE-∠AED）
=2α；
（3）∠CFP+PMO+∠ONQ+∠QGB=4α，
理由如下：如图4，

∠CFP+∠PMO+∠ONQ+∠QGB
=（∠CFP+∠PMO）+（∠ONQ+QGB）
=2∠FDM+2∠NEG
=2（∠FDM+NEG）
=4∠BAC
=4α；
（4）∠HRL=∠IJK，
理由如下：如图5，连接JR

∵∠HIJ+∠JKL
=（∠IRJ+∠IJR）+（∠KRJ+∠KJR）
=（∠IJR+∠KJR）+（∠IRJ+∠KRJ）
=∠IJK+∠IRK
=2∠IJK，
∴∠HRL=∠IJK．

点评 本题是几何变换题，主要考查了对折的性质，本题的关键是从复杂图形分离出有用的部分，本题易出错的地方是，写错角．