Question

8．如图，在Rt△COD中，∠COD=90°，∠D=30°，斜边CD与以AB为直径，O为圆心的半圆相切于点P，OD与半圆交于点E，连接PA，PE，PA与OC交于点F．
猜想与证明：
（1）当∠BOD=60°时，试判断四边形AOEP的形状，并证明；
探索与发现：
（2）当AB=6时，求图中阴影部分的面积；
（3）若不再添加任何辅助线和字母，请写出图中两组相等的线段．（半径除外）

Answer 1

分析 （1）当∠BOD=60°时，四边形AOEP为菱形．连接OP，由切线的性质可知OP⊥CD，结合∠D=30°可知∠POE=60°，由∠AOP、∠POE、∠BOE三个角互补可得出∠AOP=60°，由圆的半径相等可得出△OAP与△OPE为等边三角形，结合∠PAO=60°可证出四边形AOEP为菱形；
（2）连接OP，在Rt△OPD中，由特殊角的三角形函数值可得出PD的长度，根据阴影部分的面积=△OPD的面积-扇形OPE的面积即可求出结论；
（3）在Rt△OPD中，由∠D=30°可求出OD=2OP，从而得出OD=AB；再由∠POE=60°、OP=OE可得出△OPE为等边三角形，进而得出PE=OE．

解答 解：（1）当∠BOD=60°时，四边形AOEP为菱形．
证明：连接OP，如图所示．

∵CD切半圆于点P，
∴OP⊥CD，
又∵∠D=30°，
∴∠DOP=60°，
又∵∠BOD=60°，
∴∠AOP=60°，
∵OE=OP=OA，
∴△OAP与△OPE为等边三角形，
∴OA=AP=PE=EO，且∠PAO=60°，
∴四边形AOEP为菱形．
（2）连接OP．
在Rt△OPD中，OP=$\frac{1}{2}$AB=3，∠OPD=90°，∠D=30°，
∴PD=$\frac{OP}{tan∠D}$=3$\sqrt{3}$，∠POE=60°，
阴影部分的面积S=$\frac{1}{2}$PD•OP-$\frac{60°}{360°}$π•OP²=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{2}$π．
（3）在Rt△OPD中，∠OPD=90°，∠D=30°，
∴OD=$\frac{PD}{sin∠D}$=2PD=AB，∠POE=60°．
在△OPE中，OP=OE，∠POE=60°，
∴△OPE为等边三角形，
∴PE=OE．
故可得出OD=AB，PE=OE．

点评 本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、等边三角形的判定及性质以及角的运算，解题的关键是：（1）得出△OAP与△OPE都是等边三角形；（2）分割组合图形利用三角形面积-扇形面积得出结论；（3）解直角三角形找出边的长度．本题属于基础，难度不大，解决该题型题目时，根据边角关系找出相等的量是关键．