Question

12．如图在直角平面坐标系xOy中，OA=OC=3OB，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使S_△PAO=4S_△OAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先表示出C（0，c），再利用OA=OC=3OB可得A（c，0），B（-$\frac{1}{3}$c，0），于是可利用交点式表示解析式，得到y=-（x+$\frac{1}{3}$c）（x-c）=-x²+$\frac{2}{3}$c+$\frac{1}{3}$c²，所以$\frac{1}{3}$c²=c，解得c=3，所以抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）先计算出S_△AOC=$\frac{9}{2}$，则S_△PAO=4S_△OAC=18，再设P（t，-t²+2t+3），于是根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|-t²+2t+3|=18，即|-t²+2t+3|=12，然后分类讨论：当-t²+2t+3=12或-t²+2t+3=-12，分别解两个一元二次方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=-x²+bx+c=c，则C（0，c），
∵OA=OC=3OB，
∴A（c，0），B（-$\frac{1}{3}$c，0），
∴y=-（x+$\frac{1}{3}$c）（x-c）=-x²+$\frac{2}{3}$c+$\frac{1}{3}$c²，
∴$\frac{1}{3}$c²=c，解得c=0（舍去）或c=3，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）存在．
∵A（3，0），C（0，3），
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴S_△PAO=4S_△OAC=18，
设P（t，-t²+2t+3），
∴$\frac{1}{2}$•3•|-t²+2t+3|=18，
即|-t²+2t+3|=12，
当-t²+2t+3=12，此方程无实数解；
当-t²+2t+3=-12，解得t₁=5，t₂=-3，此时P点坐标为（5，-12），（-3，-12）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（5，-12），（-3，-12）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．