Question

17．已知△ABC中，CD平分∠ACB，AQ⊥CD，P为AB的中点，求证：PQ=$\frac{1}{2}$（BC-AC）

Answer 1

分析 延长AQ交BC于M，求出∠CAQ=∠MCQ，∠CQA=∠CQM=90°，根据ASA推出△ACQ≌△MCQ，根据全等得出AC=CM，AQ=MQ，根据三角形的中位线得出PQ=$\frac{1}{2}$BM即可．

解答 证明：如图，延长AQ交BC于M，

∵CD平分∠ACB，AQ⊥CD，
∴∠CAQ=∠MCQ，∠CQA=∠CQM=90°，
在△ACQ和△MCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠MCQ}\\{CQ=CQ}\\{∠CQA=∠CQM}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△MCQ，
∴AC=CM，AQ=MQ，
∵P为AB的中点，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BM，
∵BM=BC-CM=BC-AC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$（BC-AC）．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步推出PQ是△AMB的中位线，难度适中．