Question

7．如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．
（1）求证：AD=BD；
（2）若∠C=75°，求∠ABE的度数．

Answer 1

分析 （1）由AD是△ABC一边上的高，得到∠ADC=∠ADB=90°，根据余角 的性质得到∠DBE=∠CAD，根据全等三角形的性质即可得到AD=BD；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BAD=45°，由全等三角形的性质得到∠BED=∠C=75°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠C+∠CBF=∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBE=∠CAD，
在△BDE与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠DBE}\\{∠BDE=∠ADC}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADC，
∴AD=BD；
（2）解：∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠C=75°，
∴∠ABE=30°．

点评 此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，难度不大，找准全等的三角形是正确解决本题的关键．