如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.∠A=30°.AB=12.点D是AB的中点.动点E从点A出发.以每秒一个单位的速度沿折线A-C-B向终点B运动.连接DE.以DE为直角边.点E为直线顶点向右侧作等腰直角△DEF.设点E的运动时间为t秒(1)直接写出线段AC和BC的长:AC=6$\sqrt{3}$.BC=6,(2)若DF∥AC时.①求t的值,③若DF交BC于点H.EF交BC于点G.则四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，点D是AB的中点，动点E从点A出发，以每秒一个单位的速度沿折线A-C-B向终点B运动，连接DE，以DE为直角边，点E为直线顶点向右侧作等腰直角△DEF，设点E的运动时间为t秒
（1）直接写出线段AC和BC的长：AC=6$\sqrt{3}$，BC=6；
（2）若DF∥AC时，
①求t的值；
③若DF交BC于点H，EF交BC于点G，则四边形DEGH的面积是18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$（直接写答案）；
（3）当点F落在△ABC三边所在的直线上时，求t的值．

分析（1）利用直角三角形30度角性质求出BC，再利用勾股定理求出AC即可．
（2）①如图1中，作DM⊥AC于M．在Rt△ADM中求出DM、AM，再证明△DEM是等腰直角三角形即可解决问题．
②如图2中，根据S_{四边形DEGH}=S_△DEF-S_△GHF计算即可解决问题．
（3）分四种情形）①如图3中，当点F在BC边上时，②如图4中，当点F在BC边上时，作DM⊥AC于M．③如图5中，当点F在AB的延长线上时，作EM⊥AB于M．设BM=x．④如图6中，当点F在CB的延长线上时，分别求出点E的运动路程，即可解决问题．

解答解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．
故答案为6$\sqrt{3}$，6．

（2）①如图1中，作DM⊥AC于M．

∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，
∵AC∥DF，
∴∠AED=∠EDF=45°，
∴∠EDM=90°-∠AED=45°，
∴∠NED=∠MDE=45°，
∴DM=ME，
∵AD=DB=6，∠A=30°，∠AMD=90°，
∴DM=ME=3，AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴AE=3$\sqrt{3}$+3，
∴t=（3+3$\sqrt{3}$）s．
②如图2中，

由①可知，DE=F=3$\sqrt{2}$，EC=AC-AE=6$\sqrt{3}$-（3+3$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3．
∵∠DMC=∠C=∠MDH=90°，
∴四边形DMCH是矩形，
∴CH=DM=3，
∵∠CEG=∠CGE=45°，
∴EC=CG=3$\sqrt{3}$-3，
∵∠F=∠HGF=45°，
∴HF=HG=3-（3$\sqrt{3}$-3）=6-3$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形DEGH}=S_△DEF-S_△GHF=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$（6-3$\sqrt{3}$）²=18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$．
故答案为18$\sqrt{3}$-$\frac{45}{2}$．

（3）①如图3中，当点F在BC边上时，在Rt△AED中，∵∠AED=90°，∠A=30°．AD=6，
∴DE=3，AE=3$\sqrt{3}$，
∴t=3$\sqrt{3}$．

②如图4中，当点F在BC边上时，作DM⊥AC于M．

∵∠MED+∠MDE=90°，∠MED+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠MDE，∵DE=EF，∠DME=∠C=90°，
∴△DME≌△ECF，
∴DM=CE=3，
∴AE=AC=CE=6$\sqrt{3}$-3，
∴t=6$\sqrt{3}$-3．
③如图5中，当点F在AB的延长线上时，作EM⊥AB于M．设BM=x．

在Rt△EMB中，∵∠EMB=90°，∠MEB=30°，BM=x，
∴EB=2x，EM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△DEM中，∵∠EDM=∠DEM=45°，
∴DM=EM=$\sqrt{3}$x，
∵DB=6，
∴$\sqrt{3}$x+x=6，
∴x=3（$\sqrt{3}$-1），
∴BE=6（$\sqrt{3}$-1），
∴AC+CE=6$\sqrt{3}$+6-6（$\sqrt{3}$-1）=12，
t=12．
④如图6中，当点F在CB的延长线上时，易知CE=EB=3，AC+CE=6$\sqrt{3}$+3，
∴t=6$\sqrt{3}$+3

综上所述，当t=3$\sqrt{3}$s或（6$\sqrt{3}$-3）s或12s或（6$\sqrt{3}$+3）s时，点F在△ABC三边所在的直线上．