Question

15．如果2⁸+2¹⁰+2ⁿ为完全平方数，那么正整数n=4或10．

Answer 1

分析 先将2⁸+2¹⁰+2ⁿ变形为（2⁴）²+（2⁵）²+（${2}^{\frac{n}{2}}$）²，再分三种情况分解因式，进行讨论即可求解．

解答 解：2⁸+2¹⁰+2ⁿ=（2⁴）²+（2⁵）²+（${2}^{\frac{n}{2}}$）²，
 ①若原式分解因式为（2⁴+2⁵）²，展开后n=10；
②若原式分解因式为（2⁴+${2}^{\frac{n}{2}}$）²，展开后n=10；  
③若原式分解因式为（2⁵+${2}^{\frac{n}{2}}$）²，展开后n=4．
综合上述，n=4或10．
故答案为：4或10．

点评 本题考查的是完全平方数，将2⁸+2¹⁰+2ⁿ变形为（2⁴）²+（2⁵）²+（${2}^{\frac{n}{2}}$）²是解答此题的关键．