Question

如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（5，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=-1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S_△POC=3S_△BOC，求点P的坐标； 
②当直线BC左右平移时，直线与x轴、y轴分别交于D、E，对称轴上是否存在点M，使得△DEM为等腰直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（5，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）①a=-1时，先由对称轴为直线x=2，求出b的值，再将B（-1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=-x²+2x+3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，-x²+2x+3），根据S_△POC=3S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②当∠PDE=90°时，先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=3x+3，再设则直线DE为：y=3x+3+b，求得D（-

3+b

3

，0），E（0，3+b），得出DG=2+

3+b

3

，OE=3+b，然后根据△DOE≌△MGD得出DG=OE，进而求得GM的长，即可求得M的坐标；当∠DME=90°时，根据题意△EFM≌△NMD，得出MN=EF=2，即可求得M的坐标．

解答：解：（1）∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为（5，0），
∴点B的坐标为（-1，0）；
（2）①a=-1时，∵抛物线y=-x²+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴

-b

-1×2

=2，解得b=4．
将B（-1，0）代入y=-x²+4x+c，
得-1-4+c=0，解得c=5．
则二次函数的解析式为y=-x²+4x+5，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，5），OC=5．
设P点坐标为（x，-x²+4x+5），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴

1

2

×5×|x|=3×

1

2

×5×1，
∴|x|=3，x=±

3

．
当x=

3

时，-x²+2x+3=2

3

当x=-

3

时，-x²+2x+3=-2

3

∴点P的坐标为（

3

，2

3

）或（-

3

，-2

3

）；

②有两种情况：
当∠PDE=90°时，∵点B的坐标为（-1，0），C（0，3），
∴直线BC为：y=3x+3，
∴直线DE为：y=3x+3+b，
∴D（-

3+b

3

，0），E（0，3+b），
∴DG=2+

3+b

3

，OE=3+b，
∵△DEM为等腰直角三角形，
∴△DOE≌△MGD，
∴DG=OE，
∴2+

3+b

3

=3+b，
解得：b=0，
∴MG=OB=1，
∴M（2，-1），
当∠DME=90°时，根据题意△EFM≌△NMD，
∴MN=EF=2，
∴M（2，2）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．