Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点F为AC中点，⊙O经过点B，F，且与AC交于点D，与AB交于点E，与BC交于点G，连结BF，DE，弧EFG的长度为（1+

3

2

）π．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE∥BF，且AE=a，DF=2+

3

-a，请判断圆心O和直线BF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：点与圆的位置关系,弧长的计算

专题：

分析：（1）设⊙O的半径为r，再根据弧长公式即可得出结论；
（2）先根据DE∥BF得出∠ADE=∠AFB，再根据圆内接四边形的性质得出∠AFB+∠DEB=180°，进而得出AF的长．在Rt△ABC中，根据直角三角形的性质求出BF的长，再由B、F都在⊙O上即可得出结论．

解答：解：（1）设⊙O的半径为r，
∵∠ABC=90°
∴弧EFG所对的圆心角的度数为180°，
∴

180πr

180

=（1+

3

2

）π，即r=1+

3

2

；
                       
（2）答：圆心O在直线BF上．
理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠AFB．
∵四边形DEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB+∠DEB=180°．
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE=a．
∵DF=2+

3

-a，
∴AF=AD+DF=2+

3

．            
在Rt△ABC中，∠ABC=90°且F为AC中点，
∴BF=AF=2+

3

．     
∵r=1+

3

2

，
∴BF=2r．
∵B、F都在⊙O上，
∴BF为⊙O直径，
∴点O在直线BF上．

点评：本题考查的是点与圆的位置关系，熟知弧长公式、直角三角形的性质及圆内接四边形的性质是解答此题的关键．