Question

如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．
（1）请说出旋转中心及旋转角度；
（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；
（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；
（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=

2

，求正方形的对角线长；
（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）先利用正方形的性质得BA=BC，∠ABC=90°，然后根据旋转的性质确定旋转中心和旋转角度；
（2）根据旋转的性质得BQ=BP，∠QBP=90°，可判断△PBQ为等腰直角三角形；
（3）根据等腰直角三角形的性质得∠BPQ=∠BQP=45°，而∠BPA=135°，则∠BPA+∠BPQ=180°，由此可判断点A，P，Q三点在同一直线上；
（4）根据旋转的性质得∠BQC=∠BPQ=135°，CQ=AP=3，而∠BQP=45°，所以∠AQC=∠BQC-∠BQP=90°，再利用△PBQ为等腰直角三角形得到PQ=

2

BP=2，则AQ=AP+PQ=5，在Rt△AQC中，根据勾股定理可计算出AC=

34

；
（5）由AC=

34

，根据正方形的性质得AB=

17

，然后利用线段AP在旋转过程中所扫过的面积=S_扇形BAC-S_扇形BPQ和扇形的面积公式进行计算．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABP旋转后到达△CBQ的位置，其旋转中心为点B，旋转角为90°；
（2）如图，
∵△ABP绕B点顺时针旋转90°到达△CBQ的位置，
∴BQ=BP，∠QBP=90°，
∴△PBQ为等腰直角三角形；
（3）∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°，
而∠BPA=135°，
∴∠BPA+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴点A，P，Q三点在同一直线上；
（4）∵△ABP绕B点顺时针旋转90°到达△CBQ的位置，
∴∠BQC=∠BPQ=135°，CQ=AP=3，
而∠BQP=45°，
∴∠AQC=∠BQC-∠BQP=90°，
∵△PBQ为等腰直角三角形，
∴PQ=

2

BP=

2

×

2

=2，
∴AQ=AP+PQ=3+2=5，
在Rt△AQC中，AC=

AQ2+CQ2

=

34

；
（5）∵AC=

34

，
∴AB=

AC

2

=

17

，
线段AP在旋转过程中所扫过的面积=S_扇形BAC-S_扇形BPQ=

90•π•( 17 )2

360

-

90•π•( 2 )2

360

=

15

4

π．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及扇形的面积公式．