如图.抛物线与x轴交于点和A.与y轴交于点C(0.2)．(1)求抛物线解析式,(2)点P是抛物线BC段上一点.PD⊥BC.PE∥y轴.分别交BC于点D.E．当DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$时.求点P的坐标,(3)M是平面内一点.将符合(2)条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后.点P.D.E的对应点分别是P′.D′.E′．设P′E′的中点为N.当抛物线同时经过D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，抛物线与x轴交于点和A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E．当DE=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$时，求点P的坐标；
（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P、D、E的对应点分别是P′、D′、E′．设P′E′的中点为N，当抛物线同时经过D′与N时，求出D′的横坐标．

分析（1）设y=a（x+1）（x-4），把C（0，2）代入求得a的值即可；
（2）延长PE交x轴与点F．依据勾股定理可求得BC的长，然后再证明△PDE∽△BOC，依据相似三角形的性质可求得PE=2，求得BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则E（x，-$\frac{1}{2}$x+2），依据PE=2可得到关于x的方程，从而可求得点P的坐标；
（3）先根据题意画出图形，然后依据直角三角形斜边上中线的性质可求得P′N=1，过点D′作D′H⊥P′E′，可求得D′H的长，从而得到P′H的长，然后可求得NH的长，设D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则N（x-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$），把N代入抛物线的解析式可求得x的值，从而得到点D的横坐标．

解答解：（1）设y=a（x+1）（x-4），把C（0，2）代入解得a=$-\frac{1}{2}$
∴y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如图1所示：延长PE交x轴与点F．

∵OC=2，OB=4，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵PD⊥BC，CO⊥OB，
∴∠COB=∠PDE=90°．
∵∠PDE=∠EFB，∠PED=∠FEB，
∴∠DPE=∠CBO．
∴△PDE∽△BOC．
∴$\frac{DE}{PE}$=$\frac{OC}{BC}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{PE}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得PE=2．
设BC的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：4k+2=0，解得：k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设点P的坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则E（x，-$\frac{1}{2}$x+2）．
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=2，解得x₁=x₂=2．
∴点P的坐标为（2，3）．
（3）旋转后的图形如图2所示：过点D′作D′H⊥P′E′，垂足为H．

∵∠P'D'E'=90°，N是斜边P'E'的中点，
∴D′B=$\frac{1}{2}$P′E′=1．
∵$\frac{1}{2}$P′D′•E′D′=$\frac{1}{2}$P′E′•HD′，
∴D′H=$\frac{P′D′×D′E′}{P′E′}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
∴HP′=$\frac{8}{5}$．
∴HN=P′H-P′N=$\frac{3}{5}$．
设D′（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则N（x-$\frac{3}{5}$，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$），
把N点坐标代入抛物线得-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{4}{5}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{5}$）+2，解得：解得x=$\frac{47}{15}$．
∴点D′的横坐标为$\frac{47}{15}$．