对任意一个正整数m.如果m=k(k+1).其中k是正整数.则称m为“矩数 .k 为m的最佳拆分点．例如.56=7×(7+1).则56是一个“矩数 .7为56的最佳拆分点．(1)求证:若“矩数 m是3的倍数.则m一定是6的倍数,(2)把“矩数 p与“矩数 q的差记为 D＞0．例如.20=4×5.6=2×3.则 D=20-6=14．若“矩数 p的最佳拆分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20-6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求$\frac{s}{t}$的最大值．

分析（1）当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
（2）根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）-s（s+1）=30，即t²+t-s²-s=30，分解因式得到（t-s）（t+s+1）=30，根据30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程组求得$\left\{\begin{array}{l}{t=15}\\{s=14}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=8}\\{s=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{s=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{s=0}\end{array}\right.$，于是得到结论．

解答解：（1）若“矩数”m=k（k+1）是3的倍数，则k（k+1）是3的倍数，k是正整数，
当k为奇数时，k+1是偶数，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数；
当k为偶数时，则k（k+1）是能被3整除的偶数，故k（k+1）是6的倍数，
综上所述，若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；

（2）根据题意得p=t（t+1），q=s（s+1），D（p，q）=t（t+1）-s（s+1）=30，
即t²+t-s²-s=30，
∴（t-s）（t+s+1）=30，
∵t，s是正整数，t＞s，
∴t-s，t+s+1是正整数，且t+s+1＞t-s，
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t-s=1}\\{t+s+1=30}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t-s=2}\\{t+s+2=15}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t-s=3}\\{t+s+1=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t-s=5}\\{t+s+1=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{t=15}\\{s=14}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=8}\\{s=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{s=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=5}\\{s=0}\end{array}\right.$，
∵t，s是正整数，
∴符合条件的是：$\left\{\begin{array}{l}{t=15}\\{s=14}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=8}\\{s=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{s=3}\end{array}\right.$，
∴$\frac{s}{t}=\frac{14}{15}$或$\frac{s}{t}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{s}{t}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{14}{15}＞\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}$，
∴$\frac{s}{t}$的最大值是$\frac{14}{15}$．