Question

16．如图，点B（3，6）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点D在双曲线y=-$\frac{8}{x}$（x＜0）上，点A和点C分别在x轴和y轴上，且四边形ABCD是矩形，AB=2BC．
（1）求点B所在双曲线的解析式．
（2）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B坐标代入y=$\frac{k}{x}$求得k的值即可；
（2）过点D作DE⊥x轴、过点B作BF⊥x轴，可得△ADE∽△BAF，由相似形性质知$\frac{DE}{AF}=\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设点A坐标为（m，0），分别表示出AE、DE的长，进而表示出点D坐标，由点D在y=-$\frac{8}{x}$上可得关于m的方程，解方程求得m的值即可．

解答 解：（1）根据题意，将点B（3，6）代入y=$\frac{k}{x}$，解得：k=18，
故点B所在双曲线的解析式为：y=$\frac{18}{x}$；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∴∠DEA=∠OFB=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，即∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴△ADE∽△BAF，
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{AE}{BF}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设点A坐标为（m，0），B（3，6）
则AF=3-m，
∴AE=$\frac{1}{2}$BF=3，DE=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{3-m}{2}$，
故点D的坐标为（m-3，$\frac{3-m}{2}$），
∵点D在y=-$\frac{8}{x}$上，
∴$\frac{3-m}{2}$=-$\frac{8}{m-3}$，
解得：m=-1或m=7（舍），
故点A的坐标为（-1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式及相似三角形的判定与性质，通过相似三角形的性质表示出点D的坐标是解题的关键．