Question

11．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为$\widehat{DC}$的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．
（1）求证：AB=AG；
（2）若DG=DE，求证：GB²=GC•GA；
（3）在（2）的条件下，若tanD=$\frac{3}{4}$，EG=$\sqrt{10}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O切线，得到OB⊥AB，根据垂径定理得到OE⊥CD，根据等腰三角形的性质得到∠OBG=∠OEG，等量代换得到∠ABG=∠BGA，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DGE=∠DEG，根据已知条件得到∠A=∠D，等量代换得到∠GBC=∠A，推出△GBC∽△GAB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）在Rt△DEF中，tanD=$\frac{EF}{DF}=\frac{3}{4}$，设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，根据勾股定理列方程得到x=1，设⊙O半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：如图，连接OB．
∵AB为⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABG+∠OBG=90°，
∵点E为$\widehat{DC}$的中点，
∴OE⊥CD，
∴∠OEG+∠FGE=90°，
又∵OB=OE，
∴∠OBG=∠OEG，
∴∠ABG=∠FGE，
∵∠BGA=∠FGE，
∴∠ABG=∠BGA，
∴AB=AG；
（2）证明：连接BC，
∵DG=DE，
∴∠DGE=∠DEG，
由（1）得∠ABG=∠BGA，
又∵∠BGA=∠DGE，
∴∠A=∠D，
∵∠GBC=∠D，
∴∠GBC=∠A，
∵∠BGC=∠AGB，
∴△GBC∽△GAB，
∴$\frac{GB}{AB}=\frac{GC}{GB}$，
∴GB²=GC•GA；
（3）连接OD，在Rt△DEF中，tanD=$\frac{EF}{DF}=\frac{3}{4}$，
∴设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，
∵DG=DE，
∴DG=5x，
∴GF=DG-DF=x．
在Rt△EFG中，由勾股定理得GF²+EF²=EG²，
即（3x）²+x²=（$\sqrt{10}$）²，解得x=1，
设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r-3x=r-3，DF=4x=4，
由勾股定理得：OF²+FD²=OD²，即（r-3）²+（4）²=r²，
解得r=$\frac{25}{6}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，连接BC构造相似三角形是解决（2）的关键．