如图.在正方形ABCD中.△BPC是等边三角形.BP.CP的延长线分别交AD于点E.F.连结BD.DP.BD与CF相交于点H．给出下列结论:①△ABE≌△DCF,②△DPH是等腰三角形,③PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB,④$\frac{{S} {△PBD}}{{S} {四边形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．其中正确结论� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB；④$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正确结论的个数是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析 ①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；
③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．

解答解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；

∵PC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=75°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正确；

∵△BPC是等边三角形，
∴可得∠FPE=∠PFE=60°，
∴△FEP是等边三角形，
∴△FPE∽△CPB，
∴$\frac{PF}{PC}$=$\frac{EF}{BC}$，
设PF=x，PC=y，则DC=y，
∵∠FCD=30°，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+y），
整理得：（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：$\frac{x}{y}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$，
则PF=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$AB，故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四边形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD
=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4
=4$\sqrt{3}$+4-8=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△PBD}}{{S}_{四边形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，故④正确；
故正确的有4个，
故选：D．