Question

3．如图，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥BC于点E，连结AE，$\widehat{CD}$=60°．
（1）求证：OE=DE；
（2）若OE=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，OD，先证明△OCD是等边三角形，再根据三线合一的性质即可证明OE=DE；
（2）图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积-三角形OBC的面积，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算即可求解．．

解答 （1）证明：连结OC，OD，
∵$\widehat{CD}$=60°，OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵OD⊥BC，
∴OE=DE；
（2）∵OE=2，
∴OD=4，
阴影部分的面积=扇形OBC的面积-三角形OBC的面积
=$\frac{60×2}{360}$×π×4²-$\frac{1}{2}$×2×2tan60°×2
=$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$．
答：图中阴影部分的面积是$\frac{16}{3}$π-4$\sqrt{3}$．

点评 考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△OCD是等边三角形是关键．