Question

18．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E
（1）求证：DE⊥AC；
（2）连OC交DE于F，若AE=2，DE=3，求$\frac{DF}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠ACB=∠B，∠ODB=∠B，则∠ACB=∠ODB，于是可判断OD∥AC，再利用切线的性质OD⊥DE，所以DE⊥AC；
（2）连结AD，如图，先利用勾股定理计算出AD，再证明Rt△AED∽Rt△ADC，利用相似比计算出AC，从而得到CE和OD的长，然后由OD∥CE，根据平行线分线段成比例定理可求$\frac{DF}{EF}$的值．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，OD=OB，
∴∠ACB=∠B，∠ODB=∠B，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（2）解：连结AD，如图，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠DAC，
∴Rt△AED∽Rt△ADC，
∴AD：AC=AE：AD，即$\sqrt{13}$：AC=2：$\sqrt{13}$，解得AC=$\frac{13}{2}$，
∴AB=AC=$\frac{13}{2}$，CE=AC-AE=$\frac{9}{2}$，
∴OD=$\frac{13}{4}$，
∵OD∥CE，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OD}{CE}$=$\frac{\frac{13}{4}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{13}{18}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是利用相似比计算出AC．