Question

14．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，延长AB到点E，连结EC，且∠BCE=∠BAC．
（1）求证：EC是⊙O的切线．
（2）过点A作AD⊥EC交EC的延长线于点D，若AD=5，DE=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=13，则OE=13-r，OC=r，证明△EOC∽△EAD，利用相似比得到$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{13-r}{13}$，然后解方程即可得到圆的半径．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
又∵∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠OCA，
∴∠BCE+∠BCO=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ADE中，AD=5，ED=12，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，
∴OE=13-r，OC=r
∵OC⊥EC，
∵AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$，即$\frac{r}{5}$=$\frac{13-r}{13}$，
∴r=$\frac{65}{18}$，
即⊙O的半径为$\frac{65}{18}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．