Question

11．已如⊙O与⊙O′内切于A点，⊙O与⊙O′的半径分别为R和r（R＞r），P为⊙O上一点，PT切⊙O′于T点，连结AP交⊙O′于B点．求证：PA²：PT²=R：（R-r）．

Answer 1

分析 作出辅助线，根据圆的特点，判断出OP∥O′B，得到比例式，结合切割线定理即可．

解答
证明：如图，连接AT，BT，BO₁，PO，
∵OA=OP，O₁A=O₁B，
∴∠OPA=∠OAP=∠O₁BA，
∴OP∥O₁B，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{OA}{A{O}_{1}}$=$\frac{R}{R-r}$，
由切割线定理得，PT²=PA×PB，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{T}^{2}}$=$\frac{P{A}^{2}}{PA×PB}$=$\frac{PA}{PB}$=$\frac{R}{R-r}$，
∴PA²：PT²=R：（R-r）．

点评 此题是相切两圆的性质，主要考查了切割线定理，和圆中两半径围成的三角形的特点，作出辅助线是解决本题的关键，也是难点．