Question

17．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2交y轴于点A，与直线y=-$\frac{1}{2}$x交于点B，把△AOB沿y轴翻折，得到△AOC，
（1）点C的坐标是（-2，1）；
（2）若抛物线y=（x-m）²+k的顶点在直线y=-$\frac{1}{2}$x上移动，当抛物线与△AOC的边OC，AC都有公共点时，则m的取值范围是-$\frac{1}{16}$≤m≤$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$≤m≤$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得B（-2，1），由于点C与B点关于y轴对称，则C（2，1）；
（2）先求出A（0，2），直线OC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，根据二次函数的性质得抛物线y=（x-m）²+k的顶点坐标为（m，k），把（m，k）代入y=-$\frac{1}{2}$x得k=-$\frac{1}{2}$m，则抛物线解析式为y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m，当抛物线与OC相切时，即抛物线的对称轴右侧与直线相切，M的值最小，则方程（x-m）²-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$x有相等的实数解，利用判别式的意义可求出m=-$\frac{1}{16}$；当抛物线y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m经过点A（0，2）时，根据二次函数图象上点的坐标特征得m²-$\frac{1}{2}$m=2，解得m₁=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$（抛物线对称轴右侧经过点A），m₂=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$（抛物线对称轴左侧经过点A），同样当抛物线y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m经过点C（2，1）时，求得m₁=$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$（抛物线对称轴右侧经过点C），m₂=$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$（抛物线对称轴左侧经过点C），所以抛物线与△AOC的边OC，AC都有公共点，利用图象可得-$\frac{1}{16}$≤m≤$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$≤m≤$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以B（-2，1）；
∵△AOB沿y轴翻折，得到△AOC，
即点C与B点关于y轴对称，
∴C（2，1）；
（2）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+2=2，则A（0，2），
直线OC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
抛物线y=（x-m）²+k的顶点坐标为（m，k），
把（m，k）代入y=-$\frac{1}{2}$x得k=-$\frac{1}{2}$m，
∴抛物线解析式为y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m，
当抛物线y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m与直线OC相切时，则方程（x-m）²-$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$x有相等的实数解，
整理得x²-（2m+$\frac{1}{2}$）x+m²-$\frac{1}{2}$m=0，则△=（2m+$\frac{1}{2}$）²-4（m²-$\frac{1}{2}$m）=0，解得m=-$\frac{1}{16}$，
当抛物线y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m经过点A（0，2）时，则m²-$\frac{1}{2}$m=2，解得m₁=$\frac{1-\sqrt{33}}{4}$，m₂=$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$，
当抛物线y=（x-m）²-$\frac{1}{2}$m经过点C（2，1）时，则（2-m）²-$\frac{1}{2}$m=1，解得m₁=$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$，m₂=$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$，
∵抛物线与△AOC的边OC，AC都有公共点，
∴-$\frac{1}{16}$≤m≤$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$≤m≤$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$．
故答案为（2，1），-$\frac{1}{16}$≤m≤$\frac{9-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{1+\sqrt{33}}{4}$≤m≤$\frac{9+\sqrt{33}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和关于y轴对称的点的坐标特征；会求直线与直线、抛物线与直线的交点坐标．难点是如何确定抛物线与△AOC的边OC，AC都有公共点时，顶点的位置．