如图.已知点O为直线AB上一点.将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1.将三角板的一边ON与射线OB重合.过点O在三角板的内部.作射线OC.使∠NOC:∠MOC=2:1.则∠MOC=30°．(2)如图2.将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置.过点O在三角板MON的内部作射线OC.使得OC恰好是∠MOB对的角平分线,试研究:∠AOM与∠NOC满足的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图，已知点O为直线AB上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边ON与射线OB重合，过点O在三角板的内部，作射线OC，使∠NOC：∠MOC=2：1，则∠MOC=30°．
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度到图2的位置，过点O在三角板MON的内部作射线OC，使得OC恰好是∠MOB对的角平分线；
试研究：∠AOM与∠NOC满足的数量关系，并说明理由．
（3）将如图1所示的三角板MON绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜90°）到如图3所示的位置，在∠BON的内部作射线OC使得∠NOC=$\frac{1}{6}$∠AON，则∠BOC的度数为$\frac{7}{6}$α°-30°（用含α的代数式表示）（请直接写出答案）

分析（1）根据角的倍分关系即可求解；
（2）令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC=90°-β，根据∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°即可得到∠AOM与∠NOC满足的数量关系；
（3）根据∠BON=α°，得到∠AON=180°-α°，得到∠AOC=210°-$\frac{7}{6}$α°，再根据平角的定义得到∠BOC的度数．

解答解：（1）∵∠NOC：∠MOC=2：1，
∴∠MOC=90°×$\frac{1}{2+1}$=30°．
（2）∠AOM=2∠NOC，
令∠NOC为β，∠AOM为γ，∠MOC=90°-β，
∵∠AOM+∠MOC+∠BOC=180°，
∴γ+90°-β+90°-β=180°，
∴γ-2β=0，即γ=2β，
∴∠AOM=2∠NOC．
（3）∠BOC的度数为$\frac{7}{6}$α°-30°．
∵∠BON=α°，
∴∠AON=180°-α°，
∴∠AOC=∠AON+∠NOC=∠AON+$\frac{1}{6}$∠AON=$\frac{7}{6}$∠AON=210°-$\frac{7}{6}$α°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=$\frac{7}{6}$α°-30°．
故答案为：30°；$\frac{7}{6}$α°-30°．

点评此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．