Question

18．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AH⊥BC，于是得到AH=CD=6，解直角三角形即可得到结论；
（2）过M作MP⊥CD于P，MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，解直角三角形求得MK=2x=PC，NP=y-2x，MP=CK=5-x=QD，于是得到AQ=8-（5-x）=3+x，QM=6-2x，推出△AMQ∽△PMN，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（3）①当M在线段EF上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到QM=MP，列方程得到6-2x=5-x，解方程即可得到结论；②当M在FE的延长线上时，根据已知条件得到△AQM≌△MNH，由全等三角形的性质得到AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5-x=MH，MK=2x=CH，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AH⊥BC，
∴AH=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴$\frac{AH}{BH}=2$，
∴BH=3，
∴CH=AD=8，
∴AE=$\frac{3}{4}×AD=6=BF$，
∴CF=5；

（2）过M作MK⊥BC于K，反向延长KM交AD于Q，则KQ⊥AD，在Rt△FMK中，FM•cos∠EFC=FK=x，
∵∠EFC=∠B，
∴tan∠EFC=2，
∴MK=2x=PC，NP=y-2x，MP=CK=5-x=QD
，∴AQ=8-（5-x）=3+x，QM=6-2x，
∵∠AMN=90°，
∵∠AMQ=∠PMN，∠AQM=∠MPN=90°，
∴△AMQ∽△PMN，
∴$\frac{AQ}{NP}=\frac{QM}{MP}，即\frac{3+x}{y-2x}=\frac{6-2x}{5-x}$，
解得：y=$\frac{5{x}^{2}-14x-15}{2x-6}$（0≤x≤1）；

（3）①当M在线段EF上时，
∵AM=MN，△AMQ≌△NMP，
∴△AMQ≌△NMP，
∴QM=MP，
∴6-2x=5-x，
∴x=1，
∴FM=$\frac{1}{cos∠B}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，
②当M在FE的延长线上时，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°，
∴∠AMQ=∠MNH，
在△AMQ与△NMH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠H=90°}\\{∠AMQ=∠NMH}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AQM≌△MNH，
∴AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5-x=MH，MK=2x，=CH，
∴AQ=DH=2x-6，∴2x-6=5-x，∴$x=\frac{11}{3}$，
∴FM=$\frac{\frac{11}{3}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\frac{11}{3}\sqrt{5}$，

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，求函数的解析式，证明△AQM≌△MNH是解题的关键．