Question

13．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：
①分别以A，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}AC$长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；②连结PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F．
（2）再连接AF、CE，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据要求画出图形即可；
（2）根据作图可得PQ是AC的垂直平分线，进而可得AO=CO，然后证明△OFC≌△OEA可得FC=AE，从而可得四边形AECF是平行四边形，再根据AC⊥EF可判定四边形AECF是菱形．

解答 （1）解：如图所示；

（2）证明：根据作图可得PQ是AC的垂直平分线，
∴AO=OC，
∵DC∥AB，
∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，
在△OFC和△OEA中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFO=∠AEO}\\{∠FCO=∠EAO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△OFC≌△OEA（AAS），
∴FC=AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥FE，
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题主要考查了复杂作图，以及菱形的判定，关键是掌握线段垂直平分线的做法，掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．