Question

3．如图1，在平面直角坐标系中，将?ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么AD的长为$\sqrt{10}$或$\frac{5\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 根据平移的特点结合图2，找出相应的线段OE=4，OF=8，DG=3$\sqrt{2}$，OM=9，再利用等腰直角三角形的特点，最后用勾股定理求出AD．

解答 解：①当AB＞4时如图1，

由图可知：OE=4，OF=8，DG=3$\sqrt{2}$，
∴EF=AG=OF-OE=4
∵直线解析式为：y=-x
∴∠AGD=∠EFD=45°
∴△AGD是等腰直角三角形
∴DH=GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×3$\sqrt{2}$=3，
∴AH=AG-GH=4-3=1，
∴AD=$\sqrt{{DH}^{2}{+AH}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
②当AB=4时，如图2，

由图可知：OI=4，OJ=8，KB=3$\sqrt{2}$，OM=9，
∴IJ=AB=4，IM=AN=5，
∵直线解析式为：y=-x，
∴△KLB是等腰直角三角形，
∴KL=BL=$\frac{\sqrt{2}}{2}$KB=3，
∵AB=4，
∴AL=AB-BL=1，
T同①得，DM=MN，
∴过K作KM∥IM，
∴tan∠DAN=$\frac{KL}{AL}$=3，
∴AM=$\frac{DM}{tan∠DAN}$=$\frac{DM}{3}$，
∴AN=AM+MN=$\frac{4}{3}$DM=5，
∴DM=MN=$\frac{15}{4}$，
∴AM=AN-MN=5-$\frac{15}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴AD=$\sqrt{A{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{4}$，
故答案为$\sqrt{10}$或$\frac{5\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题是动点问题的函数图象题，主要用平移的特点和勾股定理，三角函数，求出线段的长，解本题的关键是从图②读到信息，OE=4，OF=8，DG=3$\sqrt{2}$，OM=9．