Question

3．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，BE=OE，过两条对角线的交点O作OF⊥AD，且OF=2，求BD的长．

Answer 1

分析 根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD由线段垂直平分线的性质得出AB=OA，得出AB=OB=OA，由等腰三角形的性质得出AF=DF，证出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线定理求出AB，得出OB，即可求出BD的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB=OD，
∵AE⊥BD于点E，BE=OE，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
∴OA=AB，
∵OF⊥AD，OF=2，
∴AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴AB=2OF=2×2=4，
∴OB=4，
∴BD=2OB=2AB=2×4=8．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，证出AB=OB和OF是△ABD的中位线是解决问题的关键．