Question

19．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明：
（1）OB+OC＜AB+AC；
（2）OA+OB+OC＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）．

Answer 1

分析 （1）延长BO交AC于D，在△ABD与△COD中根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．

解答 （1）证明：延长BO交AC于D，
∵△ABD中，AB+AD＞BD，即AB+AD＞OB+OD，
△COD中，OD+CD＞OC，
∴AB+AD+CD＞OB+OD+CD＞OB+OC，AB+AC＞OB+OC；

（2）证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+AC，
∴OA+OB+OC＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）．

点评 本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．