Question

4．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于点F，反向延长BC至G，使BG=DF，连接AG，求证：
（1）△ADF≌△ABG；
（2）AE=BE+DF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质可得AB=AD，∠D=∠ABG=90°，又因为BG=DF，所以可以证明△ADF≌△ABG；
（2）由（1）可知BG=DF，由图形可知GE=BE+BG，所以要证明AE=BE+DF，只要证明GE=AE即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABG=90°，
在△ADF和△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG=90°}\\{DF=BG}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABG；
（2）∵△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠GAB，∠G=∠AFD，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠BAF，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠FAE，
∴∠GAE=∠F，
∴∠G=∠GAE，
∴AE=GE，
∴GE=BE+BG=DF+BE，
∴AE=BE+DF．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时通过证明三角形全等是关键．