Question

11．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，矩形的边与对角线长之比为1：2，AE为∠BAD的角平分线，交矩形ABCD的一边于点E，联结OE，则∠BOE=75°．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出OA=OB，∠BAD=∠ABC=90°，证出AB=OA=OB，得出∠ABO=60°，∠OBE=30°，再证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB，因此BE=OB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AB：BD=1：2，
∴AB=OA=OB，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∵AE为∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB，
∴BE=OB，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
故答案为：75°．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．